NVault

WebViewClient vw_client = new WebViewClient() {
    @Override
    public void onPageFinished(WebView view, String url){
        String cookies = CookieManager.getInstance().getCookie(url);
        // Далее эту строку можно можно передать в нужный метод
        // Или использовать как-то по-другому.
    }
}
WebView webView = findViewById(R.id.your_webview_id);
webView.setWebViewClient(vw_client);